父が亡くなり、父名義の実家を相続することになりました。私は、現在、持ち家に住んでおり、実家に住む予定もないので売却するつもりです。この場合、実家の「相続登記」をせずに売却できますか？

相続した実家は、そのままでは売却できません。
売却するためには「相続登記」が必要となります。

なぜなら、不動産に関する権利は、権利変動を正確に記録しなければならないとされており、民法177条によって登記をしなければ第三者に対して主張できないことになっています。
したがって、ご質問の場合は、相続した実家はあなたが所有者であることを買主に主張する必要があるために登記名義変更（「相続登記」）を行う必要があるのです。

相続のことは専門の税理士にご相談を

なお、「相続登記」の申請手続きは自分でもできますが、専門の司法書士に依頼することもできます。
また、相続した不動産については、相続税だけではなく「相続登記」をしたときの登録免許税や不動産を保有している間の固定資産税、不動産を売却したときの所得税など、それぞれに種々の税金が絡んできますので、税金のことは税理士にお尋ねになることをお勧めします。